دانستنیها

نقد و بررسي انواع روش تدريس رياضي

بحث در روش تدريس رياضي به زمان ما منحصر نمي شود. از هنگامي که تدريس رياضي مطرح بوده است، روش تدريس آن نيز مورد بحث و مطالعه بوده است. با مطالعه تاريخ آموزش و پرورش، ملاحظه مي کنيم که همواره دو نوع آموزش درمقابل هم قرار داشت هاند. دسته اول، روشهاي تدريس سنتي، که در گذشته هاي دور به کار مي رفته اند و دسته دوم، روشهاي مبتني بر يافته هاي روانشناسي است که به طور عمده از قرن بيستم به بعد تکوين يافته اند و به روشهاي جديد شهرت دارند. از ميان روشهايسنتي مي توان از روش سقراطي و روش مکتبخانه اي در ايران و ديگر کشورهاي اسلامي نام برد. از روش هاي جديد در تدريس رياضي مي توان به روش توضيحي، روش سخنراني، روش اکتشافي، روش حل مساله، روش بحث در کلاس، روش پرسش و پاسخ، روش فعال، روش قياسي و استقرايي آموزش مهارتهاي فراشناختي نام برد. در اين فصل انواع روشهاي تدريس رياضي که به پنج دسته، روش کلامي، روش مکاشفه اي، روش مفهومي، روش فعال و روش الگوريتمي مورد بررسي و نقد قرار مي گيرند. در پايان اين فصل از خوانندگان انتظار مي رود که بتواند با تکيه بر انواع روشهاي تدريس ذکر شده، در يک يا چند موضوع درسي، تدريسي را طراحي نمايند و در صورت امکان آن را اجرا نمايند تا به نقاط قوت و ضعف خود آشنا شوند و نقاط قوت خود را در تدريس هاي بعدي، پر رنگ تر نموده و برضعف هاي خود چيره شوند.

2-1 روش کلامي (زباني)
در اين روش معلم به اصطلاح متکلم وحده است. همه چيز را بيان مي کند، قواعد را بررسي مي کند، نتيجه گيري مي کند و طراح مساله است. خلاصه معلم همه کاره و دانش آموز هيچ کاره است. معلم مساله گو و شاگرد مساله حل کن، معلم متکلم و شاگرد مستمع است. اين نکته جالب است که طرفداران اين روش دو گروه مخالفند، عده اي موافق روش زبان ماشيني و عده اي موافق روش زباني استدلالي هستند.
الف) روش تدريس زبان ماشيني (قاعده گويي):
اين گروه اعتقاد دارند که دانستن قواعد و فنون محاسبه براي دانش آموزان کافي است. اگر دانش آموز ادامه تحصيل دهد آنگاه برايش استدلال خواهد شد و مطالب را خواهد فهميد و در صورتي که ادامه ندهد اين محاسبات هست که به دردش مي خورد و چه کار دارد که چرا فلان مطلب چنين است و چنان نيست. حسن اين روش در آن است که تدريس به سرعت انجام مي شود ولي معايب آن عبارتند از:
1- دانش آموز قواعدي را بدون آنکه آنها را درک کرده و منطقي بودن آنها را پذيرفته باشد، آنها را حفظ مي کند و به همين سرعت هم فراموش مي کند.
2- نسبت به مطالبي که مي خواند احساس بيگانگي مي کند و نسبت به آنچه ياد گرفته است علاقه اي نشان نمي دهد.
3- اين آموزش پاسخگوي نيازهاي طبيعي دانش آموز به کنجکاوي و حقيقت جويي نمي باشد.
4- طرفداران اين روش جالب پرورش را به طور کلي ناديده مي گيرند.
ب) روش تدريس زبان استدلالي:
طرفداران اين شيوه برخلاف گروه قبل تدريس رياضي را توام با استدلال قبول دارند. آنها معتقدند که رياضي با منطق آميخته است. پس بايد با استدلال و برهان به امر تدريس رياضي همت گماشت. ابتدا بايد تعريف و اصول گفته شود و به دنبال آن مي توان نتيجه گيري ها را با استفاده از قوانين منطق آغاز نمود. حسن اين روش آن است که با طبيعت رياضي سازگاري دارد ولي معايب آن عبارتند از:
1- از روش استدلالي در هر سني نمي توان استفاده نمود.
2- قدرت ابتکار رشد نمي کند و دانش آموز جستجوگر نخواهد شد.
3- معلم و شاگرد به تدريج از جهان واقعي دور مي شوند.


نقد و خلاصه روش هاي کلامي (زباني):
روشهاي زباني همان طور که از نامشان پيداست، بر زبان و کلام معلم تکيه دارد. در اين روشها، معلم و مدرس متکلم وحده است و کمتر مجال سئوال کردن، توضيح دادن، درک و فهم واقعي به دانش آموزان داده مي شود.
تنها مزيت ظاهري روشهاي زباني اين است که تصور مي شود که دانش آموزان به ظاهر در درس پيش مي روند. اين باور درست نيست، زيرا در دراز مدت، اثرات نادرستي در پرورش فکر و استعداد دانش آموزان مي گذارد و در سنين بالاتر اگر مطالب رياضي را دير مي فهمند، علت عمده اش اين است که قبلا در آموزش مطالب بنيادي به آنها عجله کرده ايم. به عبارت ديگر، در مراحل بعدي آموزش، دانش آموزان ناچارند از معلوماتي استفاده کنند که قبلاً آنها را خوب فرا نگرفته و به درستي نفهميده اند.
2-2 روش اکتشافي
يادگيري اکتشافي فرايندي است که دانش آموز به طور مستقل و با راهنمايي معلم يا بدون آن، اصل يا قانوني را کشف نموده و مساله اي را حل مي کند. ويژگي عمده روش اکتشافي، درجه و ميزان راهنمايي شدن شاگرد (به وسيله معلم) براي اکتشاف است که اين ويژگي به عواملي مانند استعداد دانش، مهارت شاگرد و درجه دشواري خود مساله بستگي دارد و مي تواند در چهار محدوده قرار گيرد.
1- معلم مي تواند اصول و راه حل مساله را براي شاگرد توضيح دهد، اما پاسخ مساله را نگويد (در اينجا معلم از روش توضيحي بهره مي گيرد)؛ اين نوع راهنمايي براي دانش آموزان ضعيف ضرورت مي يابد.
2- معلم مي تواند فقط اصولي را که براي کشف آن به کار مي رود به شاگرد توضيح دهد، اما راه حل و جواب مساله را در اختيار او قرار ندهد.
3- معلم مي تواند اصول را ارائه ندهد؛ اما راه حل را بگويد.
4- معلم مي تواند اصول و راه حل را به شاگرد نگويد؛ که آن را يادگيري راهنمايي نشده مي ناميم.
از آن جايي که اين روش بر پاسخ مداوم دانش آموزان به سئوالات مختلف در کلاس درس تا حدودي متکي است، لذا تدريس به وسيله آن مشکل است و لذا معلم نياز به صبر بيشتر و وقت زيادتري دارد و نقش معلم در اين روش هدايت نمودن دانش آموزان در ارتباط دادن مطالب جديد با تجارب و محفوظات گذشته نشان مي باشد. حدسيات، تخمين ها و آزمايش و خطا، آزمايشهايي هستند که در روش اکتشافي براي يافتن ايده هاي جديد و ارتباط آنها با مفاهيم گذشته به کار مي روند.
معلم با طرح سئوالات مناسب مي تواند جواب هاي نادرست دانش آموزان را به سمت جواب هاي درست هدايت نمايد. معلم بايد کلاس را در جهت صحيح و مسير معيني حفظ نمايد به طوري که از حالت کاوش و پويايي شاگردان کاسته نشود. در اين روش، معلم دانش آموزان را وادار به فکر کردن مي کند و آنها را براي رسيدن به پاسخ درست تشويق مي نمايد لذا دانش آموز در فرايند يادگيري سهيم است.
تکنيک هاي تدريس به روش مکاشفه اي:
1- معلم، سئوالي را براي بررسي کردن به دانش آموزان ارائه مي نمايد. معلم بايد اطمينان حاصل کند که دانش آموزان مساله را فهيمده اند و بدانند که دنبال چه چيزي مي گردند و چگونه بايد اين راه را ادامه دهند و چگونه مسير درست را انتخاب نمايند.
2- معلم فکر کردن را در دانش آموزان با گفتگو و پرسش برانيگزاند و از آنها بخواهد با ارائه مثال ها و نامثال ها، مساله را دنبال کنند.
3- معلم فعاليت هايي طرح ريزي نمايد که الگوهاي جديد را ايجاد نمايد. 
4- معلم از مدل هاي مختلف آموزشي و ابزار کمک آموزشي باري تدريس بهره برد.
5- در ارزشيابي نيز از مسايل استفاده نمايد که توانايي آنها را در کشف مقاصد جديد بسنجد.
6- از نتيجه گيري سريع براساس يک يا دو نمونه به عنوان شاهد خوددداري کنيد.
اکتشاف يک مطلب در کلاس درس بايد روال منطقي داشته باشد و تا حدودي نمايانگر يک مکاشفه واقعي با محيطي منطقي باشد.
7- دانش آموزان را به طور مرتب در جريان پيشرفت هايشان قرار دهيد.
محاسن روش اکتشافي از ديدگاه برونر:
1- يادگيري اکتشافي، توانايي ذهني دانش آموزان را تقويت مي کند.
2- يادگيري اکتشافي، انگيزه دروني دانش آموز را افزايش مي دهد، زيرا در اين يادگيري شاگرد به طور خودجوش فعاليت هاي آموختن را دنبال مي کند و پاداشي هم که مي گيرد، از فعاليت هاي خود اوست.
3- يادگيري اکتشافي، فنون اکتشاف را به شاگرد مي آموزد و او را خلاق و کاوشگر بار مي آورد.
4- يادگيري اکتشافي موجب دوام بهتر آموخته ها مي شود. زيرا دانش آموز خود آموخته هايش را سازمان مي دهد و مي داند که چه موقع و چگونه آنها را به دست آورد.
5- از آنجا که در اين روش از مشاهده اشکال، اشيا، و تصاوير براي تدريس استفاده مي شود. درک حقايق و روابط را تا حدي براي دانش آموزان آسان مي کند.
معايب روش اکتشافي:
1- قدرت استدلال و ارتباط بين مفاهيم کم مي شود.
2- اين روش بسيار وقت گير است.
3- طرفداران اين روش اهميت فوق العاده اي به احساس و ادراک مي دهند اما بايد توجه داشت که بعضي از مفاهيم رياضي (مانند اعداد منفي) را نمي توان از راه حواس درک نمود. 
4- مکاشفه در بدو امر خوب است ولي نتيجه اساسي نه از راه مکاشفه بلکه از کوششي که در نباله اين رغبت براي توضيح و تنظيم روابط صورت مي گيرد، حاصل مي شود. به عنوان مثال نيوتن با مشاهده سقوط سيب از درخت، وجود رابطه اي بين زمين و اجسام پيرامون آن را احساس کرد (مکاشفه) ولي مشاهدات مذکور به تنهايي ارزش چنداني نداشت و اگر به همين جا خاتمه يافته بود، هيچ نتيجه عملي از آن به دست نمي آمد.
5- اگر هر تصوري را به کمک شکل و به طور يکنواخت به دانش آموزان عرضه کنيم، بيم آن مي رود که ذهن آنها، به جاي رابطه مورد نظر، توجه شان به شکل يا تصوير جلب شود و به کلي از حقيقي که در نظر داريم بي اطلاع بماند.
2-3- روش مفهومي
در اين روش بيشتر تاکيد بر مفاهيم رياضي است و تکيه کمتري بر مهارت ها مي شود. ما معتقديم که تکيه بيش از حد بر يکي، ما را از ديگري دور مي سازد لذا يايد به طور متعادل بين مفاهيم و استفاده از روش ها تاکيد نمود. ذکر اين نکته ضروري است که تا هنگامي که مفاهيم در ذهن دانش آموزان شکل نگرفته است، نبايد به سراغ تکنيک ها و مهارت ها رفت. تفاوت روش مفهومي با روش الگوريتمي نيز از همين جا ناشي مي شود که در روش مفهومي تکيه بر مفاهيم است و در روش الگوريتمي تکيه بر مهارت ها و تکنيک هاست.
2-4- روش فعال
در اين روش، هدف اين است که دانش آموزان در فرايند آموزش و پرجنب و جوش باشند. البته، هيچ روشي به طور محض غيرفعال نيست. براي مثال، در روش سخنراني، معلم فعال و دانش آموزان ظاهراً غيرفعالند اما در حقيقت، به طور ذهني فعالند؛ زيرا به سخنان معلم گوش مي کنند و درباره مطالب آن مي انديشند و يادداشت برمي دارند.
برخلاف روش هاي منفعل که « معلم محور» است روش فعالي « دانش آموز محور» است. دانش آموز درامر يادگيري شرکت فعال دارد، با مسايل مواجه مي شود، راجع به حل آنها فکر مي کند و با راهنمايي معلم به حل آنها مي پردازد. در اثر کارهاي آموزشي خودش، به مفاهيم پي مي برد. در اين صورت است که دانش آموز به حل مساله ها علاقه مند مي گردد. موفقيت اين روش، به مهارت معلم و تسلط او به درس همبستگي دارد.
در آموزش به روش فعال هر دانش آموز مطالب را به سرعت خود ياد مي گيرد و فرصت دارد که به مطالب فکر کند. دانش آموز از طريق حل مساله، طي فرايندي به تدريج به مفاهيم پي مي برد و به جاي آنکه شاهد را رفتن معلم باشد خود قدم به قدم راه رفتن را تمرين مي کند و مي آموزد. با پي بردن به توانايي هاي خود، در او حس اعتماد به نفس تقويت مي شود چون در به دست آوردن نتيجه ها و کشف قواعد سهيم است و نسبت به مطالب احساس علاقه و مالکيت مي کند و ميل به دانش افزايي در او باور مي شود، در جريان کار فعال، دانش آموز رشد مي کند و تفکر منطقي را تقويت مي کند. در اين روش وظايف معلم عبارتست از توجه به کار يکايک دانش آموزان و دادن راهنمايي در موارد لازم، علاقه مند کردن آنها به کار و فعاليت درسي، شناخت دانش آموزان و پي بردن به توانايي آنها و از همه مهمتر قدم به قدم پيش بردن دانش آموز براي يادگيري يک مطلب درسي جديد طي مراحل مختلف آن. وظيفه دانش آموز هم فهاليت و کارآموزي و کاوشگري در حد توانايي خود مي باشد.
سه اصل آموزش به روش فعال:
معلم بايد بداند که روند يادگيري چگونه جريان دارد و راه هاي ثمربخش را انتخاب کند. سه اصل براي تدريس ثمربخش وجود دارد که عبارتند از:
1- اصل يادگيري فعال (کشف موضوع توسط خود دانش آموز ضمن انجام فعاليت هاي مناسب): البته آنچه در کلاس مورد توجه ملعم است اهميت دارد، ولي هزار بار مهم تر از آن، چيزي است که مورد توجه دانش آموز است. انديش ها بايد از ذهن خود دانش آموز بيرون بيايد. در اين ميان نقش معلم را مي توان با نقش ماما و قابله مقايسه کرد.
اين، نصيحت رسمي سقراط است. گفتگوي سقراطي، بهترين شکل آموزش با بهترين نتيجه است. درست است که ميزان وفتي که، در مدرسه، براي هر ماده درسي گذاشته اند، محدود است که با اين روش همه درس ها را نمي توان ارائه نمود ولي با همه اين، اصل قديمي ما به قوت خود باقي است که مي گويد: «با همين امکان هايي که داريد، حداکثر تلاش خود را به کار بريد، تا خود دانش آموزان، در جريان کشف، شرکت داشته باشند».
اگر دانش آموز در تنظيم صورت مساله هايي که بايد حل کند، شرکت داشته باشد، خيلي فعالتر خواهد کوشيد. معلم بايد شرايطي را فراهم آورد که دانش آموز بتواند مساله هاي خودش را طرح کند چون باعث خواهد شد که نيروي خلاقيت او شکوفا شود.
2- اصل بهترين انگيزه: معلم بايد خودش را واسطه اي بداند که مي خواهد مقداري از رياضياتي را که مي داند، در اختيار دانش آموزان قرار دهد. اگر واسطه اي در عرصه جنس خود با مشکلي روبرو شود و کالايش روي دستش بماند يا خريداران از خريد کالاي او سرباز زنند، نبايد تقصير را به گردن خريداران بيندازد. به خاطر داشته باشيد که، معمولاً حق با خريدار است. دانش آموزي که از يادگرفتن رياضيات سرباز مي زند، ممکن است حق داشته باشد. هيچ دليلي وجود ندارد که شاگرد شما، تنبل يا کم هوش باشد. بلکه خيلي ساده، ممکن است به چيز ديگري علاقه مند باشد. آخر، دنياي ما پر از چيزهاي جالب است. وظيفه شما، به عنوان يک معلم و به عنوان کسي که مي خواهد آگاهي ديگران را بالا ببرد، اين است که دانش آموز را به رياضيات علاقه مند کنيد. بنابراين، معلم بايد تمامي توجه خود را در انتخاب مساله و تنظيم آن به کار برد و آن را به بهترين صورت ممکن، به دانش آموزان عرصه کند. مساله بايد نه تنها از موضع معلم، بلکه از موضع شاگرد هم، جالب باشد. چه بهتر که بشود درس را، در رابطه با تجربه روزانه شاگردان طرح کرد و آن را به صورت معما درآورد. مساله را مي توان با موضوعي آغاز کرد که براي دانش آموزان روشن است و چه بهتر که اين موضوع، امکان کاربرد علمي مساله و يا موضوعي مورد علاقه عموم باشد. اگر مي خواهيم نيروي خلاقيت دانش آموزان را پرورش دهيم نبايد مبنايي در اختيار آنها بگذاريم تا مطمئن شوند تلاش آنها بيهوده و عبث نيست.
به خصوص، علاقه دانش آموز، بهترين انگيزه او در کار است. ولي، انگيزه هاي ديگري هم وجود دارد که نبايد آنها را از دست داد. از دانش آموز بخواهيم که نتيجه را حدس بزند، ولو بخشي از آن را، دانش آموزي که فرضيه اي را ارائه کند، در واقع خود را به آن وابسته کرده است، حيثيت و احساس او در گرو فرضيه اوست و با بي صبري در انتظار آن است که ببيند حدس او درست است يا نه، او با اشتياق به سرنوشت مساله و کار کلاس علاقه مند مي شود و در آن لحظه ها هيچ چيز ديگري توجه او را به خود جلب نخواهد کرد.
3- اصل تسلسل مرحله ها: عيب اصلي کتاب هاي رياضي دراين است که تقريباً همه مسال هاي موجود در آنها، از صورت هاي متعارف و عادي انتخاب شده است. منظور از مساله هاي عادي، مساله هايي هستند که ميدان کاربرد کمتري دارند و تنها به روشن کردن يک قانون خدمت مي کنند و تمرين هاي مناسب براي يک قانون هستند. البته اين مثال ها هم مفيد و هم لازم هستند ولي دو مرحله مهم آموزش در آنها وجود ندارد: مرحله بررسي و پژوهش و مرحله فراگيري. هدف اين دو مرحله اين است که مساله مورد بررسي را با شرايط موجود و با آگاهي هايي که قبلا به دست آورده ايم، مربوط مي کند. مساله هاي عادي، اين دو منظور را برنمي آورند، زيرا از قبل معلوم است که براي روشن شدن قانون معيني طرح شده اند و اهميت آنها، تنها در خدمت کردن به همين قانون است. البته، گاهي در اين مساله ها، به قانون يا قانون هاي ديگري هم توجه مي شود که در اين صورت، مساله هاي مفيدتري به حساب مي آيند. حقيقت اين است که بايد در کنار مساله هاي عادي، دست کم گاه به گاه، مساله هاي عميق تري هم به دانش آموزان داده شود، مساله هايي که زمينه غني تري داشته باشد امکان ورود دانش آموزان به کارهاي جدي تر علمي را فراهم آورد. وقتي مي خواهيد چنين مساله هايي را در کلاس مورد بحث قرار دهيد از همان ابتدا، يک بررسي و پژوهش مقدماتي به دانش آموزان پيشنهاد کنيد. اين کار اشتهاي آنها را در حل مساله و رسيدن به جواب تحريک مي کند. اين مطلب را هم فراموش نکنيد که مقداري از وقت کلاس را، براي بحث درباره نتيجه اي که به دست آمده است باقي بگذاريد. يادگيري توسط سه فاز صورت مي پذيرد: فاز اول: دانش آموز حدس و گمان مي زند. فاز دوم: آن را به صورت کلمات در مي آورد. فاز سوم: براي تثبيت يادگيري تمرين و ممارست انجام دهد.
محاسن روش فعال:
1- دانش آموز مفاهيم را درک مي کند.
2- خود را در به دست آوردن نتيجه ها سهيم مي داند و اين در او علاقه ايجاد مي کند و به تدريج احساس توانايي مي کند که اين خود موجب به وجود آمدن حس اعتماد به نفس در دانش آموز مي شود.
3- اين آموزش نياز به کنجکاوي، پويايي و خلاقيت را برآورده مي سازد و موجب رشد شخصيت در دانش آموز مي شود.
معايب روش فعال:
1- مدتي صرف خواهد شد تا دانش آموز از طريق حل تمرين هاي کار در کلاس و پاسخ به سئوال هاي مناسب مفاهيم را يکي کي بفهمد و به قاعده ها پي ببرد.
2- هر مفهومي را نمي توان با روش فعال آموزش داد.
2-5- روش الگوريتمي:
منظور از روش الگوريتمي، مجموعه دستورالعمل هايي است که انجام آنها منجر به حصول نتايجي براي دانش آموز گردد. تعدادي از الگوريتم هاي حساب و جبر که در دوره هاي تحصيلي مورد بحث قرار مي گيرند عبارتند از: چهار عمل اصلي روي اعداد صحيح و اعشاري، تناسب، جذريابي، يافتن بزرگ ترين مقسوم عليه مشترک، نوشتن اعداد به پايه هاي گوناگون، عمليات روي کسرهاي متعارفي، حل معادلات جبري و عمليات جبري روي بردارها در صفحه، در زمينه هندسه نيز به الگوريتم هاي زير بر مي خوريم مانند: ترسيمات با خط کش، پرگار، گونيا و نقاله مثلا در رسم عمود، نضف کردن پاره خط، ساختن مثلث. هر يک از الگوريتم هاي ذکر شده مبتني بر يک يا چند مفهوم رياضي است. از آن جمله اند مفاهيم: نوشتن اعداد در يک پايه، جذر، نسبت، عدد اول، مجموعه. علاوه بر مفاهيم و الگوريتم ها، رکن ديگر کاربرد الگوريتم ها در حل مسايل است.
معايب روش الگوريتمي:
1- تاکيد بيش از حد بر الگوريتم ها شم عددي دانش آموز را کاهش مي دهد. چون که شم عددي ما را از مرتکب شدن اشتباهات فاحش مصون مي دارد.
2- دانش آموز تقريباً در هيچ مساله واقعي نياز به اين الگوريتم ها را ندارد. مثلاً الگوريتم جذر بهتر است از روش آزمون و خطا در دوره راهنمايي تحصيلي تدريس گردد.
3- معمولاً دليل درستي اين الگوريتم ها مطرح نمي شود.
4- چون اين الگوريتم ها دشوارند و حفظ کردن آنها نيروي فراواني از دانش آموز مي طلبد، محصل به تدريج نسبت به مفهوم اصلي بيگانه مي شود.
5- در حال حاضر که ماشين حسابهاي دستي ارزان قيمت عمليات رياضي را حتي از انسان سريع تر و دقيق تر انجام مي دهند لذا ضرورتي بر حفظ همه الگوريتم ها نيست.


چند توصيه براي بهبود روش الگوريتمي:

1- به جاي تاکيد بر کسب مهارت در اجراي دقيق دستورالعمل هاي رياضي، تاکيد بيشتري صرف درک مفاهيم گردد و با قرار دادن وقت کافي در اختيار دانش آموز، به او اجازه آزمايش کردن داده شود. دانش آموزي که وادار شود هر بار با رجوع به مفاهيم اوليه، مسايل قابل فهم خود را حل کند، به تدريج نياز به دستورالعمل را احساس مي کند و ممکن است خود به سوي الگوريتم سازي سوق داده شود.
2- مسايل حرفي متنوع تر، جذاب تر، واقعي تر و بعضاً دشواري تري از آنچه امروزه معمول است در اختيار دانش آموزان قرار گيرد. درک و فهم مفاهيم رياضي در سطح مدرسه، در ميدان به کارگيري آنها در مسايل ملموس و قابل فهم تحقق مي يابد.
3- تقويت شم عددي دانش آموز که در حال حاضر بهايي به آن داده نمي شود، به طور جدي مطرح گردد. دانش آموز بايد ياد بگيرد که حدود نتيجه يک محاسبه را قبل از انجام دقيق آن حدس بزند و با بتواند از عهده تخمين هايي برآيد.